معادلات دیفرانسیل

این درس در قالب  5 فصل ارائه می شود که عمده مطالب آن مبتنی بر کتاب " معادلات دیفرانسیل تالیف دکتر بیژن طائری" و یا کتاب  "معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسائل مقدار مرزی " تالیف بویس و دیپرما می باشد. رئوس مطالب مندرج در آن کتابها به شرح ذیل است:

 فصل اول: این فصل به طور کلی راجع به معادلات دیفرانسیل مرتبه اول و معرفی روشهای حل آنها است. چون حل تحلیلی معادلات غیرخطی در حالت کلی  دشوار و یا  غیرممکن است سعی می شود که معادلات دیفرانسیل مرتبه اول دسته بندی یا رده بندی شوند و برای هر رده خاص یک یا چند روش حل معرفی گردد. برخی از معادلات معروف در این رده بندی عبارتند از:

معادله خطی-معادله برنولی-معادله ریکاتی-معادله جداشدنی-معادله کامل.

فصل دوم: این فصل اساسا راجع به معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم در دو حالت همگن و ناهمگن است که برای یافتن جواب عمومی یک معادله کافیست دو جواب حقیقی و مستقل خطی برای معادله یافت شوند. برای این منظور، روشهایی مانند

روش کاهش مرتبه، روش تغییر پارامتر و روش ضرایب نامعین معرفی میشوند. شایان ذکر است که ایده روش تغییر پارامتر و کاهش مرتبه یکسان است و دقیقا از این ایده در فصل 5 نیز استفاده می شود.

فصل سوم: این فصل راجع به حل معادلات دیفرانسیل از طریق سریهای توانی است که همان بسط تیلور جواب حول یک نقطه معین است و در این روش بجای خود جواب سری تیلور جواب محاسبه می شود.

فصل چهارم: در این فصل مفهوم تبدیل لاپلاس تعریف می شود و به ذکر برخی از ویژگی های آن پرداخته می شود. با استفاده از تبدیل لاپلاس می توان یک معادله دیفرانسیل را به یک معادله جبری تبدیل و آنرا حل کرد. از تبدیل لاپلاس می توان برای حل معادلات انتگرالی، معادلات دیفرانسیل-انتگرالی و معادلات دیفرانسیل با طرف راست ناپیوسته (معادلات حرکت یک جسم تحت تاثیر نیروهای ناپیوسته خارجی و اجباری) استفاده کرد.

فصل پنجم: این فصل راجع به حل دستگاه معادلات خطی مرتبه اول همگن و نا همگن است. دستگاه همگن به کمک روش مقادیر ویژه-بردارهای ویژه حل عمومی دارد و دستگاه ناهمگن نیز به کمک روش تغییر پارامتر که در فصل 2 معرفی شده حل می شود. البته یک دستگاه خطی را می توان به کمک تبدیل لاپلاس نیز حل کرد.

لازم به ذکر است که در فصل دوم این درس معادله معروف اویلر نیز همراه با راه حل آن معرفی می شود که یک رده خاص از معادلات خطی مرتبه دوم با ضرایب غیر ثابت است.

باید توجه داشت که روش تغییر متغیر یک روش عمومی و کلی است که همه جا برای ساده سازی یک مساله به کار می رود و در این درس نیز نقش کلیدی را ایفا می کند.